Question

19．已知函數(shù)$f（x）=\frac{sin2x+cos2x+1}{2cosx}$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域
（Ⅱ）若$f（{α+\frac{π}{4}}）=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$，求cosα的值
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，若α是第四象限角，求$cos（{π-2α}）+cos（{2α-\frac{π}{2}}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由cosx≠0得：x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若$f（{α+\frac{π}{4}}）=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$，則$\sqrt{2}$cosα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，化簡可得答案；
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，若α是第四象限角，則$sinα=-\frac{4}{5}$，利用倍角公式和誘導(dǎo)公式，可得答案．

解答 解：（1）由cosx≠0得：x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z}  （2分）
（2）$f（x）=\frac{sin2x+cos2x+1}{2cosx}$=$\frac{2sinx•cosx+2cos{\;}^{2}x}{2cosx}$=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∵$f（{α+\frac{π}{4}}）=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$，
∴$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cosα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴cosα=$\frac{3}{5}$  （8分）
（3）∵α是第四象限角，
∴$sinα=-\frac{4}{5}$（9分）
∴$cos2α={cos^2}α-{sin^2}α=-\frac{7}{25}$，$sin2α=2sinαcosα=-\frac{24}{25}$（10分）
∴cos（π-2α）+cos（2α-$\frac{π}{2}$）=$-cos2α+sin2α=\frac{7}{25}-\frac{24}{25}=-\frac{17}{25}$（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的化簡求值，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，難度中檔．