Question

9．若正實(shí)數(shù)a，b滿足a+2b=1，則下列說法正確的是（　�。�

• A． ab有最大值$\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{a}$+$\frac{1}$有最小值5
• C． $\sqrt{a}$+$\sqrt{2b}$有最大值1+$\sqrt{2}$
• D． a²+4b²有最小值$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由基本不等式求最值和二次函數(shù)求最值，逐個選項(xiàng)驗(yàn)證可得．

解答 解：∵正實(shí)數(shù)a，b滿足a+2b=1，∴1=a+2b≥2$\sqrt{2ab}$，∴ab≤$\frac{1}{8}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b即a=$\frac{1}{2}$且b=$\frac{1}{4}$時取等號，故ab有最大值$\frac{1}{8}$，A錯誤；
由正實(shí)數(shù)a，b滿足a+2b=1可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（a+2b）
=3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}$≥3+2$\sqrt{2}$，故B錯誤；
∵（$\sqrt{a}$+$\sqrt{2b}$）²=a+2b+2$\sqrt{2ab}$=1+2$\sqrt{2ab}$≤1+2$\sqrt{2×\frac{1}{8}}$=2，故C錯誤；
由a+2b=1可得a=1-2b，由1-2b＞0可得b＜$\frac{1}{2}$，故0＜b＜$\frac{1}{2}$，
∴a²+4b²=（1-2b）²+4b²=8b²-4b+1，故當(dāng)b=-$\frac{-4}{2×8}$=$\frac{1}{4}$時，式子取最小值$\frac{1}{2}$，D正確．
故選：D

點(diǎn)評 本題考查基本不等式求最值，涉及二次函數(shù)求最值，屬中檔題．