Question

1．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=2處有極值，其圖象在x=1處的切線垂直于直線，y=$\frac{1}{3}$x-2．
（1）設(shè)f（x）的極大值為p，極小值為q，求p-q的值；
（2）若c為正常數(shù)，且不等式f（x）＞mx²在區(qū)間（0，2）內(nèi)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出p，q，作差即可；
（2）問題等價于m＜x+$\frac{c}{{x}^{2}}$-3在（0，2）恒成立，令g（x）=x+$\frac{c}{{x}^{2}}$-3，x∈（0，2），通過討論c的范圍，求出g（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=12+4a+b=0}\\{f′（1）=3+2a+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴f′（x）=3x（x-2），f（x）=x³-3x²+c，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
∴p=f（x）_極大值=f（0）=c，q=f（x）_極小值=f（2）=-4+c，
∴p-q=4；
（2）若c為正常數(shù)，不等式f（x）＞mx²在區(qū)間（0，2）內(nèi)恒成立，
問題等價于m＜x+$\frac{c}{{x}^{2}}$-3在（0，2）恒成立，
令g（x）=x+$\frac{c}{{x}^{2}}$-3，x∈（0，2），
g′（x）=$\frac{{x}^{3}-2c}{{x}^{3}}$，
c≥4時，g′（x）＜0，g（x）在（0，2）遞減，
∴m＜g（2）=$\frac{c}{4}$-1，
0＜c＜4時，g（x）在（0，$\root{3}{2c}$）遞減，在（$\root{3}{2c}$，2）遞增，
∴m＜g（$\root{3}{2c}$）=$\root{3}{2c}$-3+$\frac{1}{\root{3}{4}}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．