Question

10．已知中心在原點的橢圓C以拋物線y²=4x的焦點F為右焦點，且它們的公共點P到點F的距離為$\frac{5}{3}$，則橢圓C的標準方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
• B． $\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 先求出拋物線y²=4x的焦點F（1，0），從而得到橢圓C的右焦點為F（1，0），左焦點為F₁（-1，0），它們的公共點P到點F的距離為$\frac{5}{3}$，求出P點橫坐標x_P=$\frac{2}{3}$，|PF₁|=$\frac{7}{3}$，由此利用橢圓定義能求出橢圓C的標準方程．

解答 解：∵拋物線y²=4x的焦點F（1，0），
∴中心在原點的橢圓C的右焦點為F（1，0），左焦點為F₁（-1，0），
設橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}$=1，
∵它們的公共點P到點F的距離為$\frac{5}{3}$，
∴P到x=-1的距離為$\frac{5}{3}$，∴P點橫坐標x_P=$\frac{2}{3}$，
∴${{y}_{P}}^{2}=4×\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$，∴|PF₁|=$\sqrt{（{x}_{P}+1）^{2}+{{y}_{P}}^{2}}$=$\frac{7}{3}$，
∴2a=|PF|+|PF₁|=$\frac{5}{3}+\frac{7}{3}$=4，∴a=2，b²=4-1=3．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意橢圓、拋物線性質(zhì)的合理運用．