1.平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離比到直線x=-2的距離小1.若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是k<-1或k>1.

分析 由拋物線的定義,求出機(jī)器人的軌跡方程,過點(diǎn)P(-1,0)且斜率為k的直線方程為y=k(x+1),代入y2=4x,利用判別式,即可求出k的取值范圍

解答 解:平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離比到直線x=-2的距離小1,
即平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x=-1的距離相等,
由拋物線的定義可知,機(jī)器人的軌跡方程為y2=4x,
過點(diǎn)P(-1,0)且斜率為k的直線方程為y=k(x+1),
代入y2=4x,可得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
∵機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)P(-1,0)且斜率為k的直線,
∴△=(2k2-4)2-4k4<0,
∴k<-1或k>1.
故答案為:k<-1或k>1.

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.

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