Question

15．已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）討論點(diǎn)C的軌跡的形狀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）列式整理得到頂點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）分m的不同取值范圍判斷軌跡E為何種圓錐曲線．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)C（x，y），則由題知$\frac{y}{x-5}•\frac{y}{x+5}=m$，
即$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{-25m}=1（x≠±5）$為點(diǎn)C的軌跡方程．…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)m＞0時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；
當(dāng)m＜-1時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；
當(dāng)m=-1時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為圓心為（0，0），半徑為5的圓；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題．