Question

13．討論關(guān)于x的方程e^x=kx解的個(gè)數(shù)（k∈R）．

Answer 1

分析 利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的過原點(diǎn)的切線方程，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出函數(shù)y=e^x的圖象如圖：
設(shè)過原點(diǎn)的直線y=kx與y=e^x相切，切點(diǎn)為（a，e^a），
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x，則切線斜率為e^a，
則切線方程為y-e^a=e^a（x-a），
即y=e^ax+（1-a）e^a，
∵y=kx，
∴k=e^a且（1-a）e^a=0，得a=1，k=e，
即當(dāng)k=e時(shí)，方程e^x=kx有一個(gè)解，
當(dāng)k＞e時(shí)，方程e^x=kx有2個(gè)解，
當(dāng)0≤k＜e時(shí)，方程e^x=kx沒有解，
當(dāng)k＜0時(shí)，方程e^x=kx有一個(gè)解．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的判斷，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．