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5.已知函數(shù)f(x)=axlnx圖象上點(diǎn)(e,f(e))處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y=2x平行,g(x)=x2-tx-2
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)對(duì)一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

分析 (1)由點(diǎn)(e,f(e))處的切線(xiàn)方程與直線(xiàn)2x-y=0平行,得該切線(xiàn)斜率為2,由此能求出f(x);
(2)由題意可得3xlnx≥x2-tx-2,即t≥x-2x-3lnx在(0,e]恒成立,令h(x)=x-2x-3lnx,求出導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間,求得(0,e]內(nèi)的最大值,即可得到t的范圍.

解答 解:(1)由點(diǎn)(e,f(e))處的切線(xiàn)方程與直線(xiàn)2x-y=0平行,
得該切線(xiàn)斜率為2,即f'(e)=2.
又∵f'(x)=a(lnx+1),令a(lne+1)=2,a=1,
所以f(x)=xlnx;
(2)對(duì)一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,
即為3xlnx≥x2-tx-2,即t≥x-2x-3lnx在(0,e]恒成立,
令h(x)=x-2x-3lnx,h′(x)=1+2x2-3x=x1x2x2,
當(dāng)1<x<2時(shí),h′(x)<0,h(x)遞減;
當(dāng)0<x<1或2<x<e時(shí),h′(x)>0,h(x)遞增.
由h(1)=1-2-0=-1,h(e)=e-2e-3<-1,
可得h(1)為最大值,即有t≥-1.
則實(shí)數(shù)t的取值范圍為[-1,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查函數(shù)的解析式的求法,考查不等式恒成立問(wèn)題的解法,注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)求出導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性求最值,屬于中檔題.

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