Question

7．已知集合M={x|x＜-3或x＞5}，P={x|（x-a）（x-8）≤0}．
（1）求M∩P={x|5＜x≤8}的充要條件；
（2）若x∈M是x∈P的一個(gè)必要但不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中集合M={x|x＜-3，或x＞5}，P={x|（x-a）•（x-8）≤0}，結(jié)合二次不等式的解集，分a≥8，5＜a＜8，-3≤a≤5，a＜-3，幾種情況分析M∩P={x|5＜x≤8}是否成立，可得結(jié)論；
（2）通過(guò)討論a的范圍，求出關(guān)于p的不等式的解集，結(jié)合p?M，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）∵集合M={x|x＜-3，或x＞5}，P={x|（x-a）•（x-8）≤0}．
若a≥8，則M∩P={x|8≤x≤a}，不滿足條件；
若5＜a＜8，則M∩P={x|a＜x≤8}，不滿足條件；
若-3≤a≤5，則M∩P={x|5＜x≤8}，滿足條件；
若a＜-3，則M∩P={x|a＜x＜-3，或5＜x≤8}，不滿足條件；
故M∩P={x|5＜x≤8}的充要條件為a∈[-3，5]；
（2）若x∈M是x∈P的一個(gè)必要但不充分條件，即p?M，
a≤8時(shí)：p：a≤x≤8，則a＞5，
a＞8時(shí)：p：8≤x≤a，a＞8即可，
綜上a＞5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件的定義，二次不等式的解法，難度不大，屬于基礎(chǔ)題型．