Question

9．已知函數(shù)f（x）=a|x-2|恒有f（f（x））＜f（x），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 分類討論可知a＜0時(shí)才有可能恒成立，當(dāng)a＜0時(shí)，化簡(jiǎn)f（f（x）），f（x）；從而結(jié)合圖象討論即可．

解答 解：①當(dāng)a=0時(shí)，f（f（x））=f（x）=0，故不成立；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f（f（2））=f（0）=2a，f（2）=0，故不成立；
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（f（x））=a|a|x-2|-2|，
當(dāng)x＜2時(shí)，f（f（x））=a|a（2-x）-2|
=a|-ax+2a-2|，
而由-ax+2a-2＜0解得，
x＜$\frac{2a-2}{-a}$=2-$\frac{2}{a}$，
而2-$\frac{2}{a}$＞2，
故a|-ax+2a-2|=a（ax-2a+2），
故f（f（x））=a（ax-2a+2）；
同理可得，當(dāng)x＞2時(shí)，
f（f（x））=-a（ax-2a-2）；
故f（f（x））的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，
作y=f（f（x））與y=f（x）的圖象如下，
，
結(jié)合圖象可知，
只需使a²≥-a，
故a≤-1，
故答案為：（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力．