Question

8．已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（0，+∞）的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足xf′（x）＞3f（x），則不等式8f（x）＞f（2）x³的解集為（　�。�

• A． {x|x＞3}
• B． {x|x＞0}
• C． {x|x＞2}
• D． {x|0＜x＞2}

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，不等式8f（x）＞f（2）x³可化為：8x³g（x）＞8g（2）•x³，即g（x）＞g（2），從而求出x的范圍即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）{•x}^{3}-{3x}^{2}f（x）}{{x}^{6}}$=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵xf′（x）＞3f（x），即xf′（x）-3f（x）＞0，
∴g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
故g（x）在（0，+∞）遞增，
則f（x）=g（x）x³，
不等式8f（x）＞f（2）x³可化為：8x³g（x）＞8g（2）•x³，
即g（x）＞g（2），解得：x＞2，
∴不等式的解集是{x|x＞2}．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．