Question

18．{a_n}為等差數(shù)列，每相鄰兩項(xiàng)a_k，a_k-1分別為方程x²-4k，x+$\frac{2}{{c}_{k}}$=0（k是正整數(shù)）的兩根．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求c₁+c₂+…+c_n之和；
（2）對(duì)于以上的數(shù)列{a_n}和{c_n}，整數(shù)981是否為數(shù)列{$\frac{2{a}_{n}}{{c}_{n}}$}中的項(xiàng)？若是，則求出相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)；若不是，則說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出a_k+a_k-1=4k，列出方程組解出首項(xiàng)和公差，
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出{c_n}的通項(xiàng)公式，使用拆項(xiàng)法求和．
（3）求出{$\frac{2{a}_{n}}{{c}_{n}}$}的通項(xiàng)公式，觀察數(shù)列的特點(diǎn)得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_k+a_k-1=4k，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}+{a}_{1}=8}\\{{a}_{3}+{a}_{2}=12}\end{array}\right.$，設(shè){a_n}公差為d，則$\left\{\begin{array}{l}{{2a}_{1}+d=8}\\{2{a}_{1}+3d=12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1．
（2）∵a_k•a_k-1=$\frac{2}{{c}_{k}}$，∴c_k=$\frac{2}{{a}_{k}{a}_{k-1}}$=$\frac{2}{（2k+1）（2k-1）}$=$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k+1}$．
∴c₁+c₂+…+c_n=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．
（3）令b_n=$\frac{2{a}_{n}}{{c}_{n}}$=$\frac{2（2n+1）}{\frac{2}{（2n+1）（2n-1）}}$=（2n+1）²（2n-1）．∴{b_n}是遞增數(shù)列，
∵b₄=9×9×7=567＜981，b₅=11×11×9=1089＞981，
∴整數(shù)981不是數(shù)列{$\frac{2{a}_{n}}{{c}_{n}}$}中的項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列求和，根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．