18．{an}為等差數(shù)列，每相鄰兩項ak，ak-1分別為方程x2-4k，x+$\frac{2}{{c}_{k}}$=0（k是正整數(shù)）的兩根．
（1）求{an}的通項公式；
（2）求c1+c2+…+cn之和；
（2）對于以上的數(shù)列{an}和{cn}，整數(shù)981是否為數(shù)列{$\frac{2{a}_{n}}{{c}_{n}}$}中的項？若是，則求出相應的項數(shù)；若不是，則說明理由．

分析 （1）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出ak+ak-1=4k，列出方程組解出首項和公差，
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出{cn}的通項公式，使用拆項法求和．
（3）求出{$\frac{2{a}_{n}}{{c}_{n}}$}的通項公式，觀察數(shù)列的特點得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵ak+ak-1=4k，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}+{a}_{1}=8}\\{{a}_{3}+{a}_{2}=12}\end{array}\right.$，設{an}公差為d，則$\left\{\begin{array}{l}{{2a}_{1}+d=8}\\{2{a}_{1}+3d=12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴an=a1+（n-1）d=2n+1．
（2）∵ak•ak-1=$\frac{2}{{c}_{k}}$，∴ck=$\frac{2}{{a}_{k}{a}_{k-1}}$=$\frac{2}{（2k+1）（2k-1）}$=$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k+1}$．
∴c1+c2+…+cn=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．
（3）令bn=$\frac{2{a}_{n}}{{c}_{n}}$=$\frac{2（2n+1）}{\frac{2}{（2n+1）（2n-1）}}$=（2n+1）2（2n-1）．∴{bn}是遞增數(shù)列，
∵b4=9×9×7=567＜981，b5=11×11×9=1089＞981，
∴整數(shù)981不是數(shù)列{$\frac{2{a}_{n}}{{c}_{n}}$}中的項．

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式，數(shù)列求和，根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．已知數(shù)列{an}中，an≠0，a1=1．且an•an+1=2（an-an+1）
（1）求數(shù)列{an}的通項an；
（2）證明：對一切正整數(shù)n，有a1+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$…+$\frac{{a}_{n}}{n}$＜2成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

9．已知全集U={l，2，3，4，5，6}，集合A={l，2，4，6}，集合B={l，3，5}，則A∪∁UB（　�。�
A．{l，2，3，4，5，6}B．{1，2，4，6}C．{2，4，6}D．{2，3，4，5，6}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

6．已知一種放射性物質(zhì)經(jīng)過120年剩留原來質(zhì)量的95.76%，設質(zhì)量為1的這種物質(zhì)經(jīng)過x年后剩量為y，則x、y之間的函數(shù)關(guān)系式為$0.957{6}^{\frac{x}{120}}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$的圖象與x軸相交，相鄰兩距離為$\frac{π}{2}$，且圖象上，一個最低點為M（$\frac{2π}{3}$，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求出函數(shù)的對稱中心和對稱軸方程；
（4）求f（x）的最值及此時x的集合；
（5）當x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域；
（6）若f（α）=1，求角α的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．如圖，點E在直角三角形ABC的斜邊AB上，四邊形CDEF為正方形，已知正方形CDEF的面積等于36．設AF=x，直角三角形ABC的面積S=f（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）表達式；
（Ⅱ）利用函數(shù)單調(diào)性定義求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求出f（x）的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

10．知函數(shù)f（x）=|lnx|，設x1≠x2且f（x1）=f（x2）．
（1）證明：（x1-1）（x2-1）＜0，且x1x2=1．
（2）若x1+x2+f（x1）+f（x2）＞M對任意滿足條件的x1，x2恒成立，求實數(shù)M的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|-|x+2|．
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．某生產(chǎn)車間為了檢測其加工的零件的質(zhì)量，檢驗人員需抽取同批次的零件樣本進行檢測指標評分．若檢測指標評分大于60分的零件為合格零件，指標評分不超過40分的零件將直接被淘汰，指標評分在（40，60]內(nèi)的零件可能被修復也可能被淘汰．現(xiàn)質(zhì)檢員小張檢測出200個合格零件，根據(jù)指標評分繪制的頻率分布直方圖如圖所示，
（1）求出頻率分布直方圖中a的值；
（2）估計這200個零件指標評分的平均數(shù)和中位數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)已有的經(jīng)驗，可能被修復的零件個體被修復的概率如下表：
 零件檢測指標評分所在區(qū)間 （40，50]（50，60]
 每個零件個體被修復的概率 $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{2}$
假設每個零件被修復與否相互獨立．現(xiàn)有3個零件的檢測指標評分（單位：分）為：38，45，52，
①求這3個零件中，至多有2個不被修復而淘汰的概率；
②記這3個零件被修復的個數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望．

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