11.已知函數(shù)f(x)=ax2-bx+1.
(1)求實(shí)數(shù)a,b使不等式f(x)<0的解集是{x|3<x<4};
(2)若a為整數(shù),b=a+2,且函數(shù)f(x)在(-2,-1)上恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的值.

分析 (1)利用不等式ax2-bx+1<0的解集是{x|3<x<4},推出方程ax2-bx+1=0的兩根是3和4,求解即可.
(2)利用已知條件推出f(-2)•f(-1)<0,求出a的范圍,然后求解即可.

解答 解:(1)∵不等式ax2-bx+1<0的解集是{x|3<x<4},
∴方程ax2-bx+1=0的兩根是3和4,….(2分)
∴解得a=$\frac{1}{12}$,b=$\frac{7}{12}$.….(6分)
(2)∵b=a+2,∴f(x)=ax2-(a+2)x+1.….(7分)
∵△=(a+2)2-4a=a2+4>0,
∴函數(shù)f(x)=ax2-bx+1必有兩個(gè)零點(diǎn).….(8分)
又函數(shù)f(x)在(-2,-1)上恰有一個(gè)零點(diǎn),
∴f(-2)•f(-1)<0,∴(6a+5)(2a+3)<0,….(10分)
解得-$\frac{3}{2}$<a<-$\frac{5}{6}$.∵a∈Z,∴a=-1.….(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次表達(dá)式的解法,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,考查計(jì)算能力.

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