Question

18．若函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x存在遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的最小整數(shù)值是0．

Answer 1

分析 首先分析求出函數(shù)的定義域，對(duì)f（x）求導(dǎo)可得$f′（x）=\frac{1}{x}-ax-2$，根據(jù)題意，有f′（x）＜0，變形可得$a＞\frac{1-2x}{{x}^{2}}$，結(jié)合x的范圍，可得a＞-1，即可得答案．

解答 由題意，x＞0，$f′（x）=\frac{1}{x}-ax-2$，
已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，由f′（x）＜0有解，即$a＞\frac{1-2x}{{x}^{2}}$有解，
令$y=\frac{1-2x}{{x}^{2}}$，$y′=-\frac{2（1-x）}{{x}^{3}}（x＞0）$，
故y=$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
則有${y}_{min}=\frac{1-2×1}{{1}^{2}}=-1$，
∴a＞-1，（經(jīng)檢驗(yàn)a=-1時(shí)f（x）不存在單調(diào)區(qū)間）．
即實(shí)數(shù)a的最小整數(shù)值為0

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解題時(shí)注意要先分析函數(shù)的定義域，解題過程中注意對(duì)“存在”這類問題的理解，學(xué)生在處理時(shí)往往容易出錯(cuò)．