Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n滿足3n²-n=2S_n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{3}^{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得a_n，驗(yàn)證n=1成立后得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{3}^{n+1}}$，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）∵3n²-n=2S_n，①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，3（n-1）²-（n-1）=2S_n-1 ，②
①-②得6n-4=2a_n，
∴a_n=3n-2，
∵n=1時(shí)，得3×1²-1=2a₁，∴a₁=1，符合上式．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3n-2；
（2）∵$_{n}=\frac{{a}_{n}+2}{{3}^{n+1}}=\frac{3n}{{3}^{n+1}}=\frac{n}{{3}^{n}}$
∴${T}_{n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{3}{{3}^{3}}+…+\frac{n}{{3}^{n}}$，③
∴$3{T}_{n}=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}+…+\frac{n}{{3}^{n-1}}$，④
④-③得$2{T}_{n}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n-1}}-\frac{n}{{3}^{n}}$
=$\frac{1×[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}-\frac{n}{{3}^{n}}=\frac{2[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{3}-\frac{n}{{3}^{n}}$．
∴${T}_{n}=\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{n+1}}-\frac{n}{2•{3}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．