Question

18．已知函數(shù)f（x）對(duì)一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）證明f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）若關(guān)于x的不等式f（4^x-3•2^x）+f（4^x-k）≤0在x∈[0，1]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法即可求f（0），根據(jù)函數(shù)f（x）的奇偶性的定義，利用賦值法即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）的單調(diào)性；          
（3）將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）對(duì)一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，
令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)． …（3分）
（2）∵f（x）對(duì)一切x，y∈RR都有f（x+y）=f（x）+f（y），
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0．
令x₂＞x₁，則x₂-x₁＞0，且f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）＜0，
由（1）知，f（x₂）-f（x₁）＜0，∴f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在R上是減函數(shù)． …（7分）
（3）若關(guān)于x的不等式f（4^x-3•2^x）+f（4^x-k）≤0在x∈[0，1]上有解，
即f（4^x-3•2^x）≤f（k-4^x）在x∈[0，1]上有解，又f（x）是R上的減函數(shù)，
所以關(guān)于x的不等式4^x-3•2^x≥k-4^x在x∈[0，1]上有解，
即關(guān)于x的不等式k≤2•4^x-3•2^x在x∈[0，1]上有解，即k≤（2•4^x-3•2^x）_max
設(shè)g（x）=2•4^x-3•2^x，x∈[0，1]，令t=2^x，則g（t）=2t²-3t，t∈[1，2]，
則$g（t）=2{（t-\frac{3}{4}）^2}-\frac{9}{8}，t∈[1，2]$，
所以g（t）_max=g（2）=2，∴k≤2，
故 實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，2]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．