Question

18．已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a=bcos（A+B），則tan（A+$\frac{π}{4}$）的最大值為$\frac{9+4\sqrt{2}}{7}$．

Answer 1

分析 a=bcos（A+B）=-bcosC，可得sinA=-sinBcosC，C為鈍角，化為tanC=-2tanB．由上面可得：A，B為銳角，tanB＞0，tanA＞0．可得tanA=-tan（B+C）=$\frac{tanB}{1+2ta{n}^{2}B}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出tanA的范圍．tan（A+$\frac{π}{4}$）=$\frac{2}{1-tanA}$-1，即可得出最大值．

解答 解：∵a=bcos（A+B）=-bcosC，
∴sinA=-sinBcosC，C為鈍角．
∴sin（B+C）+sinBcosC=0，
化為tanC=-2tanB．
由上面可得：A，B為銳角，tanB＞0，tanA＞0．
∴tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\frac{tanB}{1+2ta{n}^{2}B}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanB}+2tanB}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，當(dāng)且僅當(dāng)tanB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號．
1-tanA≥$1-\frac{1}{2\sqrt{2}}$，
則tan（A+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanA+1}{1-tanA}$=$\frac{2}{1-tanA}$-1≤$\frac{2}{1-\frac{1}{2\sqrt{2}}}$-1=$\frac{9+4\sqrt{2}}{7}$．
∴tan（A+$\frac{π}{4}$）的最大值為$\frac{9+4\sqrt{2}}{7}$．
故答案為：$\frac{9+4\sqrt{2}}{7}$．

點評 本題考查了正弦定理、和差公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．