Question

3．已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=（a+1）x²-ax+a-1，a∈R是常數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若?x∈R，都有f（x）＜2x²，求a的取值范圍（用集合表示）．

Answer 1

分析 （1）直接利用二次不等式求解即可．
（2）通過①若a=1，②若a≠1，分別求解即可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）a=1時(shí)，由f（x）＞0得，2x²-x＞0…（1分）
解得$x＞\frac{1}{2}$或x＜0…（3分），解集為$（-∞，0）∪（\frac{1}{2}，+∞）$…（5分）
（2）由f（x）＜2x²得（a-1）x²-ax+a-1＜0
①若a=1，則（a-1）x²-ax+a-1＜0當(dāng)且僅當(dāng)x＞0，不符合題意…（7分）
②若a≠1，則有$\left\{\begin{array}{l}a-1＜0\\{（-a）^2}-4{（a-1）^2}＜0\end{array}\right.$…（9分）
解（-a）²-4（a-1）²＜0得，a＞2或$a＜\frac{2}{3}$…（11分）
所以，a的取值范圍為$（-∞，\frac{2}{3}）$（或$\left\{{a|a＜\frac{2}{3}}\right\}$）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的恒成立，二次不等式的解法，考查計(jì)算能力．