Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：a₁=1，a_n+a_n+1=3n+2（n∈N^*），則S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{n}^{2}+4n}{4}，n為偶數(shù)}\\{\frac{3{n}^{2}+4n-3}{4}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 確定奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均以3為公差的等差數(shù)列，可得a_2n-1=3n-2，a_2n=3n+1，再分類討論，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+a_n+1=3n+2，
∴a₂+a₁=5，a₃+a₂=8，a₄+a₃=11，a₅+a₄=14，a₆+a₅=17，…，
∴a₂=4，a₃=4，a₄=7，a₅=7，a₆=10，…，
∴奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均以3為公差的等差數(shù)列，
∴a_2n-1=3n-2，a_2n=3n+1，
n=2k時(shí)，S_n=$\frac{k（1+3k-2）}{2}$+$\frac{k（4+3k+1）}{2}$
=3k²+2k=$\frac{3{n}^{2}+4n}{4}$；
n=2k-1時(shí)，S_n=S_2k-a_2k=3k²+2k-3k-1
=3k²-k-1=$\frac{3{n}^{2}+4n-3}{4}$，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{n}^{2}+4n}{4}，n為偶數(shù)}\\{\frac{3{n}^{2}+4n-3}{4}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{n}^{2}+4n}{4}，n為偶數(shù)}\\{\frac{3{n}^{2}+4n-3}{4}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．