Question

10．某城市的夏季室外溫度y（℃）的波動近似地按照規(guī)則$y=27+10sin（{\frac{π}{12}t+π}）$，其中t（h）是從某日0點開始計算的時間，且t≤24．
（1）若在t₀（h）（t₀≤6）時的該城市室外溫度為22°C，求在t₀+8（h）時的城市室外溫度；
（2）某名運動員要在這個時候到該城市參加一項比賽，比賽在當天的10時至16時進行，而該運動員一旦到室外溫度超過36°C的地方就會影響正常發(fā)揮，試問該運動員會不會因為氣溫影響而不能正常發(fā)揮？

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出函數(shù)的解析式，然后求解t₀+8（h）時的城市室外溫度．
（2）通過自變量的范圍求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解即可．

解答 解：$y=27+10sin（{\frac{π}{12}t+π}）$=$27-10sin\frac{π}{12}t\;，\;\;t∈[0\;，\;\;24]$，…（1分）
（1）當t=t₀時y=22（t₀≤6），$sin\frac{π}{12}{t_0}=\frac{1}{2}$，∴t₀=2，
當t=t₀+8=10時，$y=27-10sin（{\frac{π}{12}×10}）=27-10×\frac{1}{2}=22$，
∴在t₀+8（h）時的城市室外溫度為22°C；…（7分）
（2）由題意得t∈[10，16]，$\frac{π}{12}t∈[{\frac{5}{6}π\(zhòng);，\;\;\frac{4}{3}π}]$，$sin\frac{π}{12}t∈[{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}\;，\;\;\frac{1}{2}}]$，…（10分）．
∴$y=27-10sin\frac{π}{12}t∈[1922\;，\;\;27+5\sqrt{3}]$，…（12分）
即t∈[10，16]時，${y_{max}}=27+5\sqrt{3}$，
比較$27+5\sqrt{3}$與36的大小，即比較$5\sqrt{3}$與9的大小，而$5\sqrt{3}$＜9，
∴該運動員不會因為氣溫影響而不能正常發(fā)揮…（16分）

點評 本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，三角函數(shù)的最值，考查計算能力．