Question

10．在△ABC中，角A，B，C所對的對邊長分別為a，b，c，a=$\frac{1}{2}$c+bcosC．
（1）求角B的大��；
（2）若S_△ABC=$\sqrt{3}$，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡已知表達(dá)式，求出B的值即可．
（2）由（1）結(jié)論及三角形面積公式可求ac=4，利用余弦定理，基本不等式即可得解．

解答 解：（1）因?yàn)閎cosC+$\frac{1}{2}$c=a．
由正弦定理可知：sinBcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinA，
可得：sinBcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinBcosC+cosBsinC，
因?yàn)椋篶osB=$\frac{1}{2}$，B為三角形內(nèi)角，
所以：B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵B=$\frac{π}{3}$，S_△ABC=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac，
解得：ac=4，
∴由余弦定理可得：b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-2accosB}$=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}$≥$\sqrt{2ac-ac}$=$\sqrt{ac}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立．
∴b的最小值為2．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的綜合應(yīng)用，考查了三角形的形狀判斷及計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．