Question

（2010•順義區(qū)一模）已知橢圓C：，（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，，離心率．過(guò)直線l：上任意一點(diǎn)M，引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B．

（1）在圓中有如下結(jié)論：“過(guò)圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程為：x0x+y0y=r2”．由上述結(jié)論類(lèi)比得到：“過(guò)橢圓（a＞b＞0），上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程”（只寫(xiě)類(lèi)比結(jié)論，不必證明）．

（2）利用（1）中的結(jié)論證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（）；

（3）當(dāng)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求△ABM的面積．

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）由過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程，我們不難類(lèi)比推斷出過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程．

（2）由（1）的結(jié)論，我們可以設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，列出切線方程，又由M為直線l：上任意一點(diǎn)，故可知M為兩條切線與l的公共交點(diǎn)，消參后即得答案．

（3）由（2）中結(jié)論，我們可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)l的方程我們可以計(jì)算出AB邊上的高，再由弦長(zhǎng)公式計(jì)算出AB的長(zhǎng)度，代入三角形面積公式即可．

【解析】
（1）類(lèi)比過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程，可合情推理：

過(guò)橢圓（a＞b＞0），上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程為．

（2）由，離心率

得，a=3∴b=1

∴橢圓C的方程為：

l的方程為：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M的縱坐標(biāo)為t，即，

由（1）的結(jié)論

∴MA的方程為

又其過(guò)點(diǎn)，

∴

同理有

∴點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在直線上；

當(dāng)，y=0時(shí)，方程恒成立，

∴直線AB過(guò)定點(diǎn)

（3）t=1∴消去y得，

∴，x1x2=0，

∴．