Question

【題目】如圖線段AB過x軸正半軸上一定點(diǎn)M（m，0），端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對(duì)稱軸，過A，O，B三點(diǎn)作拋物線．
（1）求拋物線方程；
（2）若 =﹣1，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：可設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），

設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣m）（k≠0）

聯(lián)立這兩個(gè)方程組消去x得，ky2﹣2py﹣2pkm=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

由已知得|y1||y2|=2m，注意到y(tǒng)1y2＜0，∴y1y2=﹣2m，

又y1y2=﹣2pm，∴﹣2m=﹣2pm，∵m＞0，∴p=1．

∴拋物線方程為y2=2x

（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則 =（x1，y1）， =（x2，y2）．

則 =x1x2+y1y2=+y1y2=m2﹣2m．

又 =﹣1，

∴m2﹣2m=﹣1，解得m=1

【解析】（1）設(shè)拋物線方程為y2=2px（p＞0），設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣m）（k≠0），聯(lián)立這兩個(gè)方程組，得ky2﹣2py﹣2pkm=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出拋物線方程．（2）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則 =x1x2+y1y2=+y1y2=m2﹣2m，由此能求出m．