【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的左焦點為F(﹣2,0),離心率為 . (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點,T為直線x=﹣3上一點,過F作TF的垂線交橢圓于P、Q,當(dāng)四邊形OPTQ是平行四邊形時,求四邊形OPTQ的面積.

【答案】解:(Ⅰ)由題意可得 , 解得c=2,a= ,b=
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得F(﹣2,0),
設(shè)T(﹣3,m),則直線TF的斜率 ,
∵TF⊥PQ,可得直線PQ的方程為x=my﹣2.
設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2).
聯(lián)立 ,化為(m2+3)y2﹣4my﹣2=0,
△>0,∴y1+y2= ,y1y2=
∴x1+x2=m(y1+y2)﹣4=
∵四邊形OPTQ是平行四邊形,
,∴(x1 , y1)=(﹣3﹣x2 , m﹣y2),
,解得m=±1.
此時四邊形OPTQ的面積S= =
【解析】(Ⅰ)由題意可得 ,解出即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)可得F(﹣2,0),設(shè)T(﹣3,m),可得直線TF的斜率kTF=﹣m,由于TF⊥PQ,可得直線PQ的方程為x=my﹣2.設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2).直線方程與橢圓方程可得根與系數(shù)的關(guān)系.由于四邊形OPTQ是平行四邊形,可得 ,即可解得m.此時四邊形OPTQ的面積S=

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