Question

15．已知等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且a₁+a₂=12，9a₃²=a₂•a₆．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+…log₃a_n，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）通過聯(lián)立a₁+a₁q=12、9$（{a}_{1}{q}^{2}）^{2}$=（a₁q）•（a₁q⁵），結(jié)合q＞0可知q=3、a₁=3，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知log₃a_n=n，利用等差數(shù)列的求和公式可知b_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，進(jìn)而裂項可知$\frac{1}{_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，a₁+a₁q=12，9$（{a}_{1}{q}^{2}）^{2}$=（a₁q）•（a₁q⁵），
整理得：a₁+a₁q=12，q²=9，
又∵等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，
∴q=3，a₁=3，
∴a_n=3ⁿ；
（2）由（1）可知log₃a_n=log₃3ⁿ=n，
則b_n=log₃a₁+log₃a₂+…log₃a_n
=1+2+…+n
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故所求值為2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．