Question

10．設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{1+sinx-cosx}{x}$（0＜x≤π），求：
（1）g′（x），（x²g′（x）+1）′；
（2）分別求滿足（x²g′（x）+1）′≥0，（x²g′（x）+1）′＜0的x的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)即可，求出x²g′（x）+1的表達(dá)式，從而求出其導(dǎo)數(shù)即可；
（2）先求出（x²g′（x）+1）′的表達(dá)式，解不等式即可．

解答 解：（1）∵g（x）=$\frac{1+sinx-cosx}{x}$（0＜x≤π），
∴g′（x）=$\frac{（x+1）cosx+（x-1）sinx-1}{{x}^{2}}$，
∴（x²g′（x）+1）′
=[（x+1）cosx+（x-1）sinx]′
=cosx-（x+1）sinx+sinx+（x-1）cosx
=x（cosx-sinx）．
（2）由（1）得：（x²g′（x）+1）′=x（cosx-sinx），（0＜x≤π），
令x（cosx-sinx）≥0，得$\sqrt{2}$xsin（x-$\frac{π}{4}$）≤0，解得：0＜x≤$\frac{π}{4}$，
令x（cosx-sinx）＜0，得$\sqrt{2}$xsin（x-$\frac{π}{4}$）＞0，解得：$\frac{π}{4}$＜x＜π．

點(diǎn)評 本題考查了求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，考查解三角函數(shù)的不等式問題，是一道中檔題．