Question

20．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（不同于原點(diǎn)），以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，則關(guān)于直線l的判斷正確的是（　�。�

• A． 過定點(diǎn)（4p，0）
• B． 過定點(diǎn)（2p，0）
• C． 過定點(diǎn)（p，0）
• D． 過拋物線焦點(diǎn)

Answer 1

分析 設(shè)直線l：x=my+4b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求出b，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)直線l：x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入拋物線方程y²=2px，可得y²-2pmy-2pb=0，
∴y₁y₂=-2pb，
∴x₁x₂=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$=b²，
∵以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴有x₁x₂+y₁y₂=0，
∴b²-2pb=0，
∴b=2p
∴直線l過定點(diǎn)（2p，0）．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程的運(yùn)用，注意聯(lián)立方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的條件，屬于中檔題．