Question

20．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），直線l與拋物線C交于A，B兩點（不同于原點），以AB為直徑的圓過坐標原點O，則關于直線l的判斷正確的是（　�。�

• A． 過定點（4p，0）
• B． 過定點（2p，0）
• C． 過定點（p，0）
• D． 過拋物線焦點

Answer 1

分析 設直線l：x=my+4b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入拋物線方程，運用韋達定理，結合以AB為直徑的圓過坐標原點O，求出b，即可得出結論．

解答 解：設直線l：x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入拋物線方程y²=2px，可得y²-2pmy-2pb=0，
∴y₁y₂=-2pb，
∴x₁x₂=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$=b²，
∵以AB為直徑的圓過坐標原點O，
∴有x₁x₂+y₁y₂=0，
∴b²-2pb=0，
∴b=2p
∴直線l過定點（2p，0）．
故選：B．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質，主要考查拋物線的方程的運用，注意聯(lián)立方程，運用韋達定理，結合向量垂直的條件，屬于中檔題．