Question

2．已知函數(shù)f（x）=cos2x+cos²x-4sinx．
（1）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 對f（x）進行化簡，使用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題．

解答 解：f（x）=1-2sin²x+1-sin²x-4sinx=-3sin²x-4sinx+2．
（1）f（$\frac{π}{6}$）=-3×（$\frac{1}{2}$）²-4×$\frac{1}{2}$+2=-$\frac{3}{4}$．
（2）令sinx=t，則t∈[-1，1]，f（x）=g（t）=-3t²-4t+2=-3（t+$\frac{2}{3}$）²+$\frac{10}{3}$．
∴當(dāng)t=-$\frac{2}{3}$時，g（t）取得最大值$\frac{10}{3}$，當(dāng)t=1時，g（t）取得最小值-5．
∴f（x）的最大值是$\frac{10}{3}$，最小值是-5．

點評 本題考查了三角函數(shù)化簡求值及換元法在函數(shù)中的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．