Question

10．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，側(cè)棱長(zhǎng)為4，則該正三棱柱的外接球的體積為（　�。�

• A． $\frac{64\sqrt{2}}{3}$π
• B． 32π
• C． $\frac{64\sqrt{3}}{3}$π
• D． $\frac{128}{3}$π

Answer 1

分析 根據(jù)三棱柱的底面邊長(zhǎng)及高，先得出棱柱底面外接圓的半徑及球心距，進(jìn)而求出三棱柱外接球的球半徑，代入球的表面積公式即可得到正三棱柱的外接球的體積．

解答 解：由正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，
得底面所在平面截其外接球所成的圓O的半徑r=2，
又由正三棱柱的高為4，則球心到圓O的球心距d=2，
根據(jù)球心距，截面圓半徑，球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，我們易得球半徑R滿足：
R²=r²+d²=8，R=2$\sqrt{2}$，
∴外接球的表面積S=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{64\sqrt{2}}{3}$π．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是棱柱的幾何特征及球的體積，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，其中根據(jù)已知求出三棱柱的外接球半徑是解答本題的關(guān)鍵．