Question

13．如圖，圓O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線交于點P，E是圓O上的一點，弧$\widehat{AE}$與弧$\widehat{AC}$相等，ED與AB交于點F，AF＞BF．
（Ⅰ）若AB=11，EF=6，F(xiàn)D=4，求BF；
（Ⅱ）證明：PF?PO=PA?PB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OC，OE，由相交弦定理，得FA•FB=FE•FD，利用AF＞BF，求BF；
（Ⅱ）利用割線定理，結合△PDF∽△POC，即可證明PF•PO=PA•PB．

解答 （Ⅰ）解：由相交弦定理，得FA•FB=FE•FD，（1分）
即（11-FB）•FB=6×4，（2分）
解得BF=3或BF=8，（3分）
因為AF＞BF，所以BF=3．（4分）
（Ⅱ）證明：連接OC，OE．
因為弧AE等于弧AC，所以$∠AOC=∠AOE=\frac{1}{2}∠EOC=∠EDC$，（5分）
所以∠POC=∠PDF，（6分）
又∠P=∠P，所以△POC∽△PDF，（7分）
所以$\frac{PO}{PD}=\frac{PC}{PF}$，即PO•PF=PC•PD，（8分）
又因為PA•PB=PC•PD，（9分）
所以PF•PO=PA•PB．（（10分）

點評 本題考查相交弦定理，考查割線定理，三角形相似的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．