Question

5．一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬(wàn)元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬(wàn)元，年產(chǎn)量為x（x∈N*）件．當(dāng)x≤20時(shí)，年銷(xiāo)售總收入為（33x-x²）萬(wàn)元；當(dāng)x＞20時(shí)，年銷(xiāo)售總收入為260萬(wàn)元．記該工廠生產(chǎn)并銷(xiāo)售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)為y萬(wàn)元．
（1）求y（萬(wàn)元）與x（件）的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍
（2）該工廠的年產(chǎn)量為多少件時(shí)，所得年利潤(rùn)最大？（年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售總收入-年總投資）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知，分當(dāng)x≤20時(shí)和當(dāng)x＞20時(shí)兩種情況，分別求出年利潤(rùn)的表達(dá)式，綜合可得答案；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，分類(lèi)求出各段上的最大值點(diǎn)和最大值，綜合可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)0＜x≤20時(shí)，y=（33x-x²）-x-100=-x²+32x-100；…（2分）
當(dāng)x＞20時(shí)，y=260-100-x=160-x．…（4分）
故y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+32x-100，0＜x≤20}\\{160-x，x＞20}\end{array}\right.$（x∈N^*）．…（6分）
（2）當(dāng)0＜x≤20時(shí)，y=-x²+32x-100=-（x-16）²+156，
x=16時(shí)，y_max=156．…（9分）
而當(dāng)x＞20時(shí)，160-x＜140，故x=16時(shí)取得最大年利潤(rùn)． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，分段函數(shù)的應(yīng)用，難度中檔．