Question

5．一個工廠生產某種產品每年需要固定投資100萬元，此外每生產1件該產品還需要增加投資1萬元，年產量為x（x∈N*）件．當x≤20時，年銷售總收入為（33x-x²）萬元；當x＞20時，年銷售總收入為260萬元．記該工廠生產并銷售這種產品所得的年利潤為y萬元．
（1）求y（萬元）與x（件）的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍
（2）該工廠的年產量為多少件時，所得年利潤最大？（年利潤=年銷售總收入-年總投資）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知，分當x≤20時和當x＞20時兩種情況，分別求出年利潤的表達式，綜合可得答案；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，分類求出各段上的最大值點和最大值，綜合可得答案．

解答 解：（1）當0＜x≤20時，y=（33x-x²）-x-100=-x²+32x-100；…（2分）
當x＞20時，y=260-100-x=160-x．…（4分）
故y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+32x-100，0＜x≤20}\\{160-x，x＞20}\end{array}\right.$（x∈N^*）．…（6分）
（2）當0＜x≤20時，y=-x²+32x-100=-（x-16）²+156，
x=16時，y_max=156．…（9分）
而當x＞20時，160-x＜140，故x=16時取得最大年利潤． …（12分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)模型的選擇與應用，分段函數(shù)的應用，難度中檔．