Question

20．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2FE=1，點(diǎn)P是棱DF的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥BF；
（2）求點(diǎn)B到面PCD的距離．

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出AD⊥AB，利用面面垂直性質(zhì)定理能證明AD⊥BF．
（2）取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)PG，由V_P-ACD=V_A-PCD，能求出點(diǎn)B到面PCD的距離．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴AD⊥AB，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
AD?平面ABCD，又BF?平面ABEF，
∴AD⊥BF．
（2）取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)PG，
∵∠BAF=90°，∴AF⊥AB，
又平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AF?平面ABEF，
∴AF⊥平面ABCD，
∵P、G分別為DF、AD的中點(diǎn)，
∴PG∥AF，∴PG⊥平面ABCD，
∵V_P-ACD=V_A-PCD，
∴$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PG=\frac{1}{3}{S}_{△PCD}•owd64zr_{A-PCD}$，
∴d_A-PCD=$\frac{{S}_{△ACD}•PG}{{S}_{△PCD}}$=$\frac{\frac{1}{2}×2×1×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵AB∥面PCD，故d_B-PCD=d_A-PCD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴點(diǎn)B到面PCD的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等體積法的合理運(yùn)用．