Question

5．已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x-$\frac{π}{6}}$），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，BC=4，sinC=2sinB，若f（x）的最大值為f（ A），求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，利用周期公式即可計(jì)算得解．
（II）由正弦定理可得c=2b，由題意，$f（A）=2sin（2A-\frac{π}{6}）-1$是f（x）的最大值，結(jié)合范圍$2A-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{11π}{6}）$，可求$A=\frac{π}{3}$，由余弦定理得b²的值，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：$f（x）=4cosx（sinxcos\frac{π}{6}-cosxsin\frac{π}{6}）$=$2\sqrt{3}cosxsinx-2{cos^2}x=\sqrt{3}sin2x-cos2x-1=2sin（2x-\frac{π}{6}）-1$．…（4分）
（I）  $T=\frac{2π}{2}=π$．…（6分）
（II）∵A，B，C為△ABC的內(nèi)角，且sinC=2sinB，
∴c=2b，
又∵$f（A）=2sin（2A-\frac{π}{6}）-1$是f（x）的最大值，$2A-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{11π}{6}）$，
∴$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，∴$A=\frac{π}{3}$．…（9分）
在△ABC中，由余弦定理得${b^2}+4{b^2}-4{b^2}cos\frac{π}{3}=16$，
∴${b^2}=\frac{16}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{b^2}=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．