Question

2．（Ⅰ）求過點（$\sqrt{3}，2\sqrt{2}$）且與雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$有相同漸近線的雙曲線的標準方程．
（Ⅱ） 如圖所示，A、B是橢圓的兩個頂點，C是AB的中點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，OC的延長線交橢圓于點M，且|OF|=$\sqrt{2}$，若MF⊥OA，求此橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=λ（λ≠0）$，代入點（$\sqrt{3}，2\sqrt{2}$），解得$λ=-\frac{1}{6}$，可得雙曲線的標準方程．
（Ⅱ）設(shè)所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），求出M點的坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{b^2}{a}$），利用O、C、M三點共線，求出a，b，即可求此橢圓的標準方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=λ（λ≠0）$，代入點（$\sqrt{3}，2\sqrt{2}$），解得$λ=-\frac{1}{6}$
∴$\frac{{3{y^2}}}{8}-\frac{{2{x^2}}}{3}=1$ …．（6分）
（Ⅱ）設(shè)所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），則A（a，0），B（0，b），C（$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$），F(xiàn)（c，0）
依題意得c=$\sqrt{2}$，即a²-b²=2．
又MF⊥OA，則FM所在的直線方程是x=$\sqrt{2}$，代入橢圓方程得y=±$\frac{b^2}{a}$，所以M點的坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{b^2}{a}$）
由于O、C、M三點共線，所以$\frac{{\frac{b^2}{a}}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{\frac{2}}{\frac{a}{2}}$，即$b=\sqrt{2}$，所以a²=4，b²=2．
所以所求橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$． …．（12分）

點評 本題考查雙曲線、橢圓的標準方程，考查待定系數(shù)法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．