Question

14．設(shè)f（x）=sinxcosx-cos²（x+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=0，a=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)解析式可得f（x）=sin2x-$\frac{1}{2}$，由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，由2k$π+\frac{π}{2}$≤2x≤2k$π+\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）由f（$\frac{A}{2}$）=sinA-$\frac{1}{2}$=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc$≤2+\sqrt{3}$，且當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立，從而可求$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，從而得解．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1+cos（2x+\frac{π}{2}）}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1-sin2x}{2}$
=sin2x-$\frac{1}{2}$
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得：k$π-\frac{π}{4}$≤x≤k$π+\frac{π}{4}$，k∈Z；
由2k$π+\frac{π}{2}$≤2x≤2k$π+\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得：k$π+\frac{π}{4}$≤x≤k$π+\frac{3π}{4}$，k∈Z；
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[k$π-\frac{π}{4}$，k$π+\frac{π}{4}$]，（k∈Z）；單調(diào)遞減區(qū)間是：[k$π+\frac{π}{4}$，k$π+\frac{3π}{4}$]，（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（$\frac{A}{2}$）=sinA-$\frac{1}{2}$=0，可得sinA=$\frac{1}{2}$，
由題意知A為銳角，所以cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
可得：1+$\sqrt{3}$bc=b²+c²≥2bc，即bc$≤2+\sqrt{3}$，且當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立．
因此S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，
所以△ABC面積的最大值為$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．