Question

9．若S_n是等差數列{a_n}的前n項和，且$\frac{S_8}{8}=\frac{S_6}{6}+10$，則$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{n^2}$=5．

Answer 1

分析 設等差數列{a_n}的公差為d，運用等差數列的求和公式，計算可得d=10，再由$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{k}{n}$=0，計算即可得到所求值．

解答 解：設等差數列{a_n}的公差為d，
即有S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d，
即$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁+$\frac{1}{2}$d（n-1），
由$\frac{S_8}{8}=\frac{S_6}{6}+10$，可得
a₁+$\frac{7}{2}$d=a₁+$\frac{5}{2}$d+10，
解得d=10，
則$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{5{n}^{2}+（{a}_{1}-5）n}{{n}^{2}}$=5+$\frac{{a}_{1}-5}{n}$，
即有$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{n^2}$=$\underset{lim}{n→∞}$（5+$\frac{{a}_{1}-5}{n}$）=5+$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{1}-5}{n}$
=5+0=5．
故答案為：5．

點評 本題考查等差數列的求和公式的運用，考查數列極限的求法，注意運用數列極限公式，屬于中檔題．