Question

3．如圖，圓O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點，BM的延長線交圓O于N，過N 點的切線交C A 的延長線于P
（1）求證：PM²=PA．PC
（2）若MN=2，OA=$\sqrt{3}$OM，求劣弧$\widehat{BN}$的長．

Answer 1

分析 （1）連接ON，則ON⊥PN，由半徑相等可得OB=ON，可得∠OBM=∠ONB，利用切線的性質(zhì)和已知可得∠BOM=∠ONP=90°，進而可得∠PMN=∠PNM，再利用切割線定理即可證明；
（2）由相交弦定理得⊙O的半徑，再求劣弧$\widehat{BN}$的長．

解答 （1）證明：連結(jié)ON，則ON⊥PN，且△OBN為等腰三角形，則∠OBN=∠ONB，
∵∠PMN=∠OMB=90°-∠OBN，
∠PNM=90°-∠ONB，
∴∠PMN=∠PNM，∴PM=PN．
根據(jù)切割線定理，有PN²=PA•PC，
∴PM²=PA•PC．…（5分）
（2）解：設(shè)$OM=x∴OA=\sqrt{3}x$，則在直角△OBM中，BM=2x
又$MA=\sqrt{3}x-x，CM=\sqrt{3}x+x$，由相交弦定理得$2x×2=（\sqrt{3}x+x）•（\sqrt{3}x-x）∴x=2$
故⊙O的半徑$r=2\sqrt{3}$，
∴BN弧長$l=2\sqrt{3}•\frac{2π}{3}=\frac{{4\sqrt{3}π}}{3}$…（10分）

點評 本題綜合考查了圓的切線的性質(zhì)、切割線定理、相交弦定理等基礎(chǔ)知識，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．