Question

12．已知極坐標(biāo)方程ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$）和ρ=2cos（θ-$\frac{π}{3}$），求它的直角坐標(biāo)方程，并求與之都外切的圓的圓心的軌跡方程．

Answer 1

分析 先由余弦定理把極坐標(biāo)化為${ρ}^{2}=ρcosθ-\sqrt{3}ρsinθ$和${ρ}^{2}=ρcosθ+\sqrt{3}ρsinθ$，由此能求出它們的直角坐標(biāo)方程；兩圓圓心${O}_{1}（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，${O}_{2}（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，兩圓半徑相等，都是1，由此能求出與兩圓都外切的圓的圓心的軌跡．

解答 解：極坐標(biāo)方程ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$）和ρ=2cos（θ-$\frac{π}{3}$），
即${ρ}^{2}=ρcosθ-\sqrt{3}ρsinθ$和${ρ}^{2}=ρcosθ+\sqrt{3}ρsinθ$，
∴它們的直角坐標(biāo)方程為：${x}^{2}+{y}^{2}-x+\sqrt{3}y=0$和${x}^{2}+{y}^{2}-x-\sqrt{3}y$=0，
即（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=1和（$x-\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-x+\sqrt{3}y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-x-\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，得兩圓交點(diǎn)（0，0），（0，1），
兩圓圓心${O}_{1}（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，${O}_{2}（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，兩圓半徑相等，都是1，
設(shè)與兩圓都外切的圓的圓心坐標(biāo)為O（x，y），半徑為r，
則|OO₁|=|OO₂|=r+1，|O₁O₂|=$\sqrt{3}$，
∴與兩圓都外切的圓的圓心的軌跡是線段O₁O₂的垂直平分線，
∵O₁O₂⊥x軸，O₁O₂的中點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{1}{2}$，0），
∴與兩圓都外切的圓的圓心的軌跡是y=0，x＜0或x＞1．

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查與兩圓都外切的圓的圓心的軌跡方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．