Question

5．等腰Rt△ABC的斜邊AB所在的直線方程是3x-y+2=0，C（$\frac{14}{5}$，$\frac{2}{5}$），求直線AC和直線BC的方程和△ABC的面積．

Answer 1

分析 由已知得斜邊AB的斜率k_AB=3，設(shè)與直線AB成45°角的直線斜率為k，$\frac{|k-3|}{|1+3k|}=tan45°=1$，由此能求出兩條直角邊所在的直線方程．然后利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵等腰直角三角形的斜邊所在直線方程是：3x-y+2=0，即y=3x+2，
∴k_AB=3，
∵直角頂點(diǎn)C（$\frac{14}{5}，\frac{2}{5}$），
∴設(shè)與直線AB成45°角的直線斜率為k，$\frac{|k-3|}{|1+3k|}=tan45°=1$，
解得：k=$\frac{1}{2}$，或k=-2，
∴兩條直角邊所在的直線方程為：
y-$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{14}{5}$），即x-2y-2=0
或y-$\frac{2}{5}$=-2（x-$\frac{14}{5}$），即5x+y-15=0．
C到直線3x-y+2=0的距離d=$\frac{|3×\frac{14}{5}-\frac{2}{5}+2|}{\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{10}{\sqrt{10}}$=$\sqrt{10}$，
則斜邊AC=BC=$\sqrt{2}d=\sqrt{2}×\sqrt{10}$=2$\sqrt{5}$，
則三角形的面積S=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法以及三角形面積的計(jì)算，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．解題時(shí)要注意直線的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．