Question

17．已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線1過(guò)定點(diǎn)P（1，1）．
（1）求圓心C到直線1距離最大時(shí)的直線1的方程；
（2）若1與圓C交與不同兩點(diǎn)A、B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由定點(diǎn)P（1，1）在圓C：x²+（y-1）²=5的內(nèi)部，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)、弦心距及半徑的關(guān)系可得圓心C到直線1距離最大時(shí)的直線1的方程；
（2）設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），當(dāng)AB斜率存在時(shí)，由K_AB•K_CM=-1，化簡(jiǎn)可得AB中點(diǎn)M的軌跡方程；當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)也滿足此軌跡方程，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）定點(diǎn)P（1，1）在圓C：x²+（y-1）²=5的內(nèi)部，
圓心C到直線1距離最大時(shí)的直線1與CP垂直，
∵${k}_{CP}=\frac{1-1}{1-0}=0$，∴所求直線l的斜率不存在，
則直線方程為x=1；
（2）設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，由題意可得CM⊥AB，故有K_AB•K_CM=-1．
∴$\frac{y-1}{x-1}•\frac{y-1}{x-0}=-1$，化簡(jiǎn)可得$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$，
當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=1，此時(shí)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），
也滿足$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$．
綜上可得，AB中點(diǎn)M的軌跡方程為$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判定，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，求點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題