Question

17．已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線1過定點P（1，1）．
（1）求圓心C到直線1距離最大時的直線1的方程；
（2）若1與圓C交與不同兩點A、B，求弦AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由定點P（1，1）在圓C：x²+（y-1）²=5的內(nèi)部，結(jié)合圓的弦長、弦心距及半徑的關(guān)系可得圓心C到直線1距離最大時的直線1的方程；
（2）設(shè)AB中點M（x，y），當AB斜率存在時，由K_AB•K_CM=-1，化簡可得AB中點M的軌跡方程；當AB的斜率不存在時，點M的坐標也滿足此軌跡方程，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）定點P（1，1）在圓C：x²+（y-1）²=5的內(nèi)部，
圓心C到直線1距離最大時的直線1與CP垂直，
∵${k}_{CP}=\frac{1-1}{1-0}=0$，∴所求直線l的斜率不存在，
則直線方程為x=1；
（2）設(shè)AB中點M（x，y），當AB的斜率存在時，由題意可得CM⊥AB，故有K_AB•K_CM=-1．
∴$\frac{y-1}{x-1}•\frac{y-1}{x-0}=-1$，化簡可得$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$，
當AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x=1，此時AB的中點M的坐標為（1，1），
也滿足$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$．
綜上可得，AB中點M的軌跡方程為$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判定，直線過定點問題，求點的軌跡方程，屬于中檔題