Question

20．定義一種運算?：a?b=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥b}\\{b，a＜b}\end{array}\right.$已知函數f（x）=2×（sin$\frac{πx}{2}$?cos$\frac{πx}{2}$），且對任意x∈R有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₂-x₁|的最小值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根據定義求出函數f（x）的表達式，作出函數f（x）的圖象，利用數形結合進行求解即可．

解答 解：由sin$\frac{πx}{2}$=cos$\frac{πx}{2}$，得tan$\frac{πx}{2}$=1，即$\frac{πx}{2}$=kπ+$\frac{π}{4}$，
則x=2k$+\frac{1}{2}$，
則$\frac{1}{2}$+4k≤x≤$\frac{5}{2}$+4k時，sin$\frac{πx}{2}$≥cos$\frac{πx}{2}$，此時f（x）=2sin$\frac{πx}{2}$，
當-$\frac{5}{2}$+4k＜x＜-$\frac{1}{2}$+4k時，sin$\frac{πx}{2}$＜cos$\frac{πx}{2}$，此時f（x）=2cos$\frac{πx}{2}$，
作出函數f（x）的圖象如圖，
則當x=4k+1或x=4k時，函數f（x）取得最大值2，
當x=4k+$\frac{5}{2}$或x=4k-$\frac{3}{2}$時，函數f（x）取得最小值2sin$\frac{5π}{4}$=-$\sqrt{2}$，
若對任意x∈R有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，
則f（x₂）為最大值，f（x₁）為最小值，
則|x₂-x₁|的最小值為$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$

點評 本題主要考查函數圖象的應用，根據定義求出函數f（x）的表達式，利用數形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．