Question

15．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是A₁B₁的中點，Q是AB的中點，求異面直線A₁Q與DP所成角的余弦值．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線A₁Q與DP所成角的余弦值．

解答 解：設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A₁（2，0，2），Q（2，1，0），D（0，0，0），P（2，1，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}Q}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{DP}$=（2，1，2），
設(shè)異面直線A₁Q與DP所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}Q}•\overrightarrow{DP}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}P}|•|\overrightarrow{DP}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴異面直線A₁Q與DP所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．