Question

10．①若函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，則g（x）=f（x）-f（-x）是奇函數(shù)；
②已知x₁和x₂是函數(shù)定義域內(nèi)的兩個(gè)值（x₁＜x₂），若f（x₁）＞f（x₂），則f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；
③若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x+2）也是奇函數(shù)，則f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
以上三個(gè)命題中，正確命題是①③．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析 直接利用函數(shù)奇偶性的概念判斷①；舉例說(shuō)明②錯(cuò)誤；由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合周期函數(shù)的定義判斷③．

解答 解：①若函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，由g（-x）=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=-g（x），可得g（x）是奇函數(shù)，故①正確；
②已知x₁和x₂是函數(shù)定義域內(nèi)的兩個(gè)值（x₁＜x₂），若f（x₁）＞f（x₂），則f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，錯(cuò)誤，如y=x²，-3＜2，（-3）²＞2²，但函數(shù)y=x²在定義域內(nèi)不單調(diào)；
③若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），又f（x+2）也是奇函數(shù)，∴f（-x+2）=-f（x+2）=f（-x-2），以-x-2替換x，得f（x+4）=f（x），則f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，故③正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了與抽象函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．