Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線y=x+1上；數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=3ⁿ-1．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和為T_n，求使T_n＜8S_n+$\frac{17}{2}$成立的最大數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a_n+1=a_n+1，運用等差數(shù)列的通項公式可得a_n=n；再由b₁=S₁=2；b_n=S_n-S_n-1，計算即可得到所求通項；
（2）求得a_n•b_n=2n•3^n-1，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得T_n，由題意化簡可得2n-1＜16，解不等式即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由題意可得a_n+1=a_n+1，
可得a_n=a₁+n-1=1+n-1=n；
由數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=3ⁿ-1，
可得b₁=S₁=2；
b_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-1-（3^n-1-1）=2•3^n-1，
上式對n=1也成立．
則b_n=2•3^n-1；
（2）a_n•b_n=2n•3^n-1，
前n項和為T_n=2（1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1），
即有3T_n=2（1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ），
相減可得，-2T_n=2（1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ）
=2（$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-n•3ⁿ），
化簡可得T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}+1}{2}$，
T_n＜8S_n+$\frac{17}{2}$即為$\frac{（2n-1）•{3}^{n}+1}{2}$＜8（3ⁿ-1）+$\frac{17}{2}$，
化簡為2n-1＜16，解得n＜8.5，
則n的最大值為8．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意等差數(shù)列的定義和通項公式，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，以及不等式恒成立問題的解法，注意運用等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．