Question

19．已知三棱錐ABCD中，AB⊥CD，且AB與平面BCD成60°角．當$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ACD}}$的值取到最大值時，二面角A-CD-B的大小為（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 根據(jù)直線和平面所成的角，求出$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ACD}}$的值取到最大值時的條件，進行求解即可．

解答 解：過A作AO⊥平面BCD，連接BO并延長交CD，于E，連接AE，
則BE是AB在底面BCD上的射影，
則∠ABE=60°，
∵AB⊥CD，AO⊥CD，
∴CD⊥平面ABE，即AE⊥CD，
則∠AEB是二面角A-CD-B的平面角，
則$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{\frac{1}{2}CD•BE}{\frac{1}{2}CD•AE}$=$\frac{BE}{AE}$，
要使$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△ACD}}$的值取到最大值，則$\frac{BE}{AE}$取得最大，
由正弦定理得$\frac{BE}{AE}$=$\frac{sin∠BAE}{sin60°}$，
∴當sin∠BAE取得最大值，即當∠BAE=90°時取最大值．
此時∠AEB=30°，
故選：A

點評 本題主要考查二面角的求解，根據(jù)線面角的大小以及三角形面積之比之間的關系確定AE⊥平面BCD是解決本題的關鍵．