Question

5．設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左右焦點(diǎn)是F₁，F(xiàn)₂雙曲線上存在點(diǎn)P使離心率$e=\frac{{sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠P{F_1}{F_2}}}$，則離心率e的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$+1]．

Answer 1

分析 不防設(shè)點(diǎn)P（x，y）在右支曲線上，并注意到x≥a．利用正弦定理求得$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{a}{c}$，結(jié)合$e=\frac{{sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠P{F_1}{F_2}}}$，進(jìn)而根據(jù)雙曲線定義表示出|PF₁|和|PF₂|代入，可求得e的范圍．

解答 解：不妨設(shè)P（x，y）在右支曲線上，此時(shí)x≥a，
∵$e=\frac{{sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠P{F_1}{F_2}}}$=$\frac{c}{a}$，
∴$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{a}{c}$，
由正弦定理得$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{a}{c}$，
∵雙曲線第二定義得：|PF₁|=a+ex，|PF₂|=ex-a，
∴$\frac{ex-a}{ex+a}$=$\frac{a}{c}$，
∴x=$\frac{a（a+c）}{ec-ea}$≥a，
分子分母同時(shí)除以a，得：$\frac{a+c}{{e}^{2}-e}$≥a，
∴$\frac{1+e}{{e}^{2}-e}$≥1解得1≤e≤$\sqrt{2}$+1，又e＞1，
故離心率e的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$+1]，
故答案為：（1，$\sqrt{2}$+1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的取值范圍的求解，根據(jù)離心率的定義結(jié)合正弦定理以及雙曲線的第二定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．