Question

18．P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上的點，它到左焦點的距離等于它到右焦點的距離的4倍，求P點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 由橢圓方程求得a，進而根據(jù)橢圓定義及題意可求得|PF₂|，根據(jù)b和a求得c，進而求得焦點坐標(biāo)，設(shè)點P的坐標(biāo)，代入|PF₂|²和橢圓方程聯(lián)立后求得m和n，點P的坐標(biāo)可得．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，∴a=5
根據(jù)橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a=10
設(shè)F₁是左焦點，所以|PF₁|=4|PF₂|
∴4|PF₂|+|PF₂|=2a=10
∴|PF₂|=2
∵c²=a²-b²=9
∴F₂（3，0）
設(shè)P（m，n）
∴|PF₂|²=（m-3）²+n²=4①
∵P在橢圓上
∴$\frac{{m}^{2}}{25}+\frac{{n}^{2}}{16}=1$②
①②解得m=5，n=0
∴P（5，0）．

點評 本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．本題靈活利用了橢圓的第一定義，是解題的關(guān)鍵．