Question

19．計算：
（1）1+i+i²+i³+…+i²⁰¹⁰；
（2）$\frac{（2+2i）^{12}}{（-1+\sqrt{3}i）^{9}}$+$\frac{{（-2\sqrt{3}+i）}^{100}}{{（1+2\sqrt{3}i）}^{100}}$．

Answer 1

分析 （1）由虛數(shù)單位的性質(zhì)把1+i+i²+i³+…i²⁰¹⁰等價轉(zhuǎn)化為1+（i-1-i+1）+（i-1-i+1）+…（i-1-i+1）+i-1，由此能夠求結(jié)果；
（2）計算（2+2i）¹²=2¹²•（1+i）¹²=2¹²•[（1+i）²]⁶，再由“1”的立方虛根的冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡分母，由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡$\frac{-2\sqrt{3}+i}{1+2\sqrt{3}i}$，進(jìn)一步計算則答案可求．

解答 解：（1）1+i+i²+i³+…i²⁰¹⁰
=1+（i-1-i+1）+（i-1-i+1）+…（i-1-i+1）+i-1
=1+i-1=i．
（2）$\frac{（2+2i）^{12}}{（-1+\sqrt{3}i）^{9}}$+$\frac{{（-2\sqrt{3}+i）}^{100}}{{（1+2\sqrt{3}i）}^{100}}$=$\frac{{2}^{12}•（1+i）^{12}}{{2}^{9}•（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{9}}+（\frac{-2\sqrt{3}+i}{1+2\sqrt{3}i}）^{100}$=$\frac{-{2}^{18}}{{2}^{9}}+{i}^{100}=-{2}^{9}+1=-511$．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查了虛數(shù)單位的性質(zhì)和應(yīng)用以及“1”的立方虛根的冪的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．