Question

11．已知函數(shù)f（x）=（x-a）²+（e^x-a）²（a∈R），若存在x₀∈R，使得f（x₀）≤$\frac{1}{2}$成立，則實數(shù)a的值為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 把函數(shù)看作是動點M（x，e^x）與動點N（a，a）之間距離的平方，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線y=e^x上與直線y=x平行的切線的切點，得到曲線上點到直線距離的最小值，結(jié)合題意可得只有切點到直線距離的平方等于$\frac{1}{2}$，然后由兩直線斜率的關(guān)系列式求得實數(shù)a的值．

解答 解：函數(shù)f（x）可以看作是動點M（x，e^x）與動點N（a，a）之間距離的平方，
動點M在函數(shù)y=e^x的圖象上，N在直線y=x的圖象上，
問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離，
由y=e^x得，y′=e^x=1，解得x=0，
∴曲線上點M（0，1）到直線y=x的距離最小，最小距離d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
則f（x）≥$\frac{1}{2}$，
根據(jù)題意，要使f（x₀）≤$\frac{1}{2}$，則f（x₀）=$\frac{1}{2}$，此時N恰好為垂足，
由k_MN=$\frac{a-1}{a}$=-1，解得a=$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線的斜率，考查了數(shù)形結(jié)合和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了點到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題．