Question

2．已知方程x₁+x₂+x₃+x₄=100，求：
（1）這個(gè)方程的正整數(shù)解的組數(shù)；
（2）這個(gè)方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)；
（3）滿足x_i≥i，（i=1，2，3，4）的整數(shù)解的組數(shù)．
（注：不要求算出具體值，只列出式子即可）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，將原問題轉(zhuǎn)化為20個(gè)小球的分組問題：假設(shè)有20個(gè)完全相同的小球，將其排成一列，利用擋板法將其分成4組，四個(gè)小組的小球數(shù)目分別對應(yīng)x₁、x₂、x₃、x₄，由組合數(shù)公式計(jì)算即可得答案；
（2）由（1）假設(shè)有104個(gè)完全相同的小球，將其排成一列，共有103個(gè)空位，可得方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)；
（3）分類討論，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）假設(shè)有100個(gè)完全相同的小球，將其排成一列，共有99個(gè)空位，
在其中選3個(gè)，插入擋板，即可將100個(gè)小球分成4組，有C₉₉³種分組方法；
第一組小球的數(shù)目是x₁，第二組小球的數(shù)目是x₂，第三組小球的數(shù)目是x₃，第四組小球的數(shù)目是x₄，
則方程的正整數(shù)解的組數(shù)就是C₉₉³；
（2）由（1）假設(shè)有104個(gè)完全相同的小球，將其排成一列，共有103個(gè)空位，方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)是C₁₀₃³；
（3）x₁+x₂=3 （1組） x₃+x₄=97 （91組）
x₁+x₂=4 （2組） x₃+x₄=96 （90組）
x₁+x₂=5 （3組） x₃+x₄=95 （89組）
…
x₁+x₂=93 （91組） x₃+x₄=7 （1組）
總組數(shù)=1×91+2×90+3×89+…+91×1=129766．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的應(yīng)用，關(guān)鍵在于將原問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而運(yùn)用擋板法求解．